在凝聚态物理中，多年来有一个重要问题，就是临界现象。这种现象很早就被发现，如乳光现象，水和蒸气的共存点。后者是水在变成蒸气的过程中，气压的变化终于使得水气不分。水变成气是一级相变，其特点是很多物理量突然改变，如密度。一级相变有一个终点，在这里，不连续的量成为连续的量，而它们的导数变成不连续的，这就是二级相变。过去描述二级相变的理论是兰道平均场论，比较粗糙。后来威尔逊发展了重正化群的方法，将所有对涨落有贡献的项都计及，形成了一套非常成功的理论。

　　当一个系统处在二级相变点，也就是临界点时，涨落的效应最大，因为此时系统 (假如是无限大的) 已没有能量的间隙，用场论的语言说，所有场都是没有质量的。更严格地说，所有关联函数中没有长度或质量的标度，从而系统本身有标度不变性。只要系统比较正常，那么标度不变性就蕴涵着共形不变性。标度变换仅仅改变整体的标度，而一个普遍的共形变换可能改变形状，所保持的仅仅是原来的所有图形中的角度。很多研究得比较透彻的临界系统是两维的 (三维的系统当然更实际，但很难研究)，所以两维的共形场论变得非常重要。

　　在一个局域场论中，局域算子的概念很重要。原则上，给定任何一个空间中的点，列出所有局域算子，相当于在一个闵氏空间中知道了整个希尔伯特空间。不同点之间的算子关系可以通过空间平移来得到，从而相互之间是一个线性关系。知道了一点的算子还不等于了解了系统的所有性质，例如，我们最感兴趣的是关联函数。威尔逊指出，如果知道任意两个定义在不同点算子乘积，原则上所有关联函数都被确定了。两个算子的乘积，可以用两个算子的其中一点上的所有算子来展开。这个展开通常是渐进展开，也就是说，当把这个算子乘积代入一个关联函数的时候，得到无限多关联函数之和，这个和是一个渐进级数。由于算子乘积展开中每一项的系数随着两个算子之间的距离变小而变小，这个展开在小距离上非常有效，所以有时人们将算子乘积展开叫成短矩展开。

　　场论的一个特点是，关联函数通常随着距离的减小而变大。这就意味着，在算子乘积展开中，最重要的项随作距离变小而增大。而大多数项随着距离变小而变小，所以我们只须重视有限的几个项有行了。如果是共形场论，我们还可以按照标度来分类算子，在这个分类中，每一个算子在变换尺度时也变换一个因子，该因子通常随着尺度的变小而变大，这正是场论在小尺度上自由度增大的一个反映。对于每一个标度算子来说，那个变化因子是尺度变换的一个幂次，幂通常是负的，取其正数，这个正数叫这个算子的指标。我们可以将空间一点上的所有算子按指标的大小排列。随着指标的增大，算子的数目越来越多。

　　现在，同样可以进行算子乘积展开的研究。所有涉及的算子都有一个固定的指标，这样乘积展开中的每一项算子前的系数就是两个算子距离的一个幂次。随着算子的指标的增大，这个幂次变得越来越正，从而该项便得越来越不重要。展开中有最小指标的算子最重要，通常的情况下，其系数是距离的一个负幂次。

　　玻利雅可夫早期对共形场论的贡献是，他很早就意识到算子乘积在共形场论研究中的重要，他并猜测，三个算子乘积的结合性可能是研究共性场论的关键，这个结合性叫做自提升 (bootstrap)，这个英文词很难翻译，大意是，这是一个自洽自足的系统。如果能把所有的自提升方程都解了，整个共形场论也就被解了。

　　1984年的BPZ 等人的文章中新添的一个关键点是无限大的共形变换代数。共形群或共形代数在两维中很特别，只有在两维中，有无限多个共形变换。这从两维的度规总可以写成一个局域的正交度规看出：取正交度规的复坐标，这样度规只有一项，就是复坐标的无限小变化乘以其复共轭，经过任何局域的全纯 (也就是解析)变换，这个正交形式不变。在量子场论中，对应于每一个变换，有一个算子。大家熟知的情形是，在时间平移下，对应的算子是能量，或哈密顿量；在一个空间平移下，对应的算子是这个空间方向上的动量。同样，对应于每一个共形变换，有一个算子。无限多个共形变换有无限多个算子对应。共形变换代数对应于一个无限大的算子代数，同任何量子代数一样，这个代数可能有反常，这里的确有反常，代数的反常项是一个常数，这个常数正比于一个很重要的量：系统的中心荷，与系统的自由度有关。这个量子代数首先在弦论中出现，由维拉所罗发现，就叫维拉所罗代数。

　　维拉所罗代数其实是两套代数，一套对应于全纯变换，另一个对应于其复共轭。每一个代数中有一个重要的生成元，这个生成元对应于坐标的标度变换，所以，任何一个标度算子与它的对易子还正比于这个算子，正比的系数就是这个算子的全纯指标。我们以前定义的指标是全纯指标和反全纯指标的和。

　　由于共形变换是对称性，所有算子在共形变换下回到算子的一个线性组合，也就是说，所有的算子形成维拉所罗代数的一个表示。这个表示是可约的，可以分解成无限多个不可约的表示。当这个分解是有限的时候，该共形场论叫做一个极小共形场论。 在每一个可约的表示中，有一个特别的算子，该算子与所谓的正模维拉所罗代数元对易，所以这个算子是这个表示中的指标最小的，不然的话它与正模元的对易子给出带有更小的指标的算子。这个特别的算子叫原初算子 (primary operator)。

　　给定一个原初算子，接下来就是用表示论来研究与原初算子处于同一个表示中的其它算子，其它算子叫做次级算子 (secondary operators)。同时，给定原初算子之间的关联函数，次级算子之间的关联函数就可以通过微分等的作用由原初关联函数确定。有一些特别的算子，就零算子，表面看来不为零，其实应等价于零。这些算子通常通过用维拉所罗代数作用在一个原初算子上获得。将这个算子插入一个关联函数，应得零。但是，一个零算子通过用各种微分算子作用在原初算子上获得，这样，我们通过插入零算子的办法就获得了一些关联函数所满足的微分方程。这个结果是BPZ 文章的重要结果之一。

　　BPZ 文章中另一个重要结果是对极小模型的分类。极小模型的中心荷必须小于1，一个无质量自由标量场的共形长论的中心荷为1，所以一个极小模型中的自由度小于一个无质量的标量场。极小模型由两个整数所刻划，其中心荷是这两个整数的函数。这些场论有的是么正的 (即没有负指标的算子)，有的不是，甚至中心荷都可能是负的。后来，弗里丹等人进一步研究了么正极小模型的分类，通过研究态之间的内积，他们得到结论，两个整数代表的一类模型中只有一类用一个整数刻划的极小模型是么正的。

　　BPZ 文章的第三个重要结果是关于算子乘积的系统的研究。自提升关系可以通过图形来表示，也就是所谓的交叉对称 (crossingsymmetry)。通过算子乘积展开，一个四点函数又可以拆成全纯函数和反全纯函数的乘积的和。还有一个重要概念，就是聚变规则(fusion rules)，这些规则说，当考虑两个分属两个不同表示的算子的乘积时，在展开中只有一些表示中的算子才会出现。自提升关系的重要作用是，一旦给定聚变规则，在很大程度上算子的乘积展开就确定了。

　　还有一种比极小模型范围更广的模型，叫有理共形场论。在一个有理场论中，任何关联函数都是一个有限的和，其中每一项是一个全纯函数和反全纯函数的乘积。有一段时间，在莫耳 (G. Moore)和塞伯格等人的倡导下，许多人把精力化在分类有理共形场论以及研究具体的模型上面。

　　说到具体模型，不能不提外斯-朱米诺-威顿模型。威顿在研究玻色化时重新发现了这一大类模型，他证明了不动点，也就是标度不变点的存在。在这一类模型中，除了共形不变外，还有许多其它的对称性，这些对称性写成代数的形式就是过去在粒子物理中出现过的流代数，或者叫凯兹-莫狄 (Kac-Moody) 代数。我们前面说过，维拉所罗代数的存在引出一些关联函数满足的微分方程，同样，凯兹-莫狄代数也有对应的微分方程。这些微分方程至今还没有完全研究透彻，方程与数学中的一些重要问题如黎曼-希尔伯特问题有关系。外斯-朱米诺-威顿模型属于有理共形场论，其实，有理共形场论的很多特点都是从这些模型中总结出来的。

　　说来奇怪，当弦论的第一次革命结束时，黑暗的时代到来时，共形场论一枝独秀，使很多人几乎忘记了弦论本身，而以共形场论作为一个独立的研究方向。记得那时出国到意大利，与科大的一位同学一道虔诚地拜访威顿 (相信他早已忘了这事)，问他几个关于共形场论的问题。问完后，他竟然反问我们，对弦论感兴趣吗？说明他无时不刻地在想与弦论有关的问题，即使他也在专心研究共形场论。可以说，共形场论的短期繁荣某种程度上弱化了弦论的黑暗时代。

　　在1995年之前，弦论集中研究微扰的行为，所以绝大部份研究与弦的世界面有关。我们前面提到的共形场论就是试图从微扰论的角度理解弦论所有自恰的背景，这样做自然是不全面的，会漏掉一些重要的可能性，我们会在谈超弦的第二次革命时回到这一点。有意思的是，漏掉的重要的情况并不多，直到今天，弦的微扰论还是研究弦论和M-理论的一个最重要的工具。

　　用微扰论研究弦论，一开始就先天不足，如同用费曼图研究量子场论一样，我们在开始时只有一堆“数据”，要从这堆数据中看到弦论或场论的面貌，要花很多功夫，要有许多直觉。例如，至今我们也无法从费曼图中看出量子色动力学中的禁闭现象。同理，如果想看到弦论的全貌和非微扰性质，要么不可能，要么我们要有很大的运气。当初，许多人以为通过模仿场论来研究弦场论，我们会得到弦的非微扰理论。这种想法，在今天看来，不是显得幼稚，也是在理论上存在极大困难的。

　　所谓弦场论，是将弦类比于粒子，然后进行二次量子化。我们先帮助大家回忆一下粒子的二次量子化。给定一个粒子，一次量子化的时候，我们无非是应用量子力学，描述一个固定的粒子的基本量是粒子的波函数。如果将这个波函数作为基本变量将其量子化，我们就得到一个更大的函数，是原来单粒子波函数的函数。这个泛涵，不但有单粒子的信息，还有任意多个多粒子的信息。我们可以用单粒子的函数来展开这个泛涵，第一项有与单粒子涵数无关，这是个真空，没有粒子。第二项与单粒子的函数成线性关系，是含有一个粒子的态，第三项与单粒子函数成双线性关系，含有两个粒子，等等。同样，弦的一次量子化的波函数是一个弦的位形的函数，因为弦的位形本身已经是一个参数的函数，所以单弦的波函数也是一个泛涵。如果我们形式上将弦的位形看作一个“波函数”，弦本身的波函数可以用这个函数来展开。第一项与弦的质心位置有关，是一个快子。弦的波函数不能任意，必须满足一些物理条件的限制，这样，展开的第二项是弦位形的二次项，代表引力子，等等。

　　弦场论则以上面说的弦位形的泛涵作为基本变量的量子理论，在闭弦的情形，情况十分复杂，如果要保持时空的对称形，这个理论的作用量含有无限多个项，要作量子化是基本没有希望的。在定义量子化时，还有另外一个技术上的困难，就是，弦的二次量子化波函数是一个泛涵的泛涵，没有办法处理这么复杂的东西。第一个困难可以克服，但要牺牲时空中的协变性，其实，在弦论的早期，吉川圭二(Keji Kikkawa) 等人于 1974年已经研究了在光锥规范下的弦场论，他们发现弦场论的作用量最多含有弦泛涵的四次项，就可以完全包含弦的微扰论的所有“费曼图”了。由于这个理论不是协变的，很难推广到一般时空背景，从而对弦论作非微扰的研究。吉川圭二已从大板大学退休，是一个很温文尔雅的人。

　　开弦理论有一个简单而优美的表述，这就是威顿的三次弦场论，这个理论以陈-西蒙斯的形式出现，同时非交换几何也第一次在弦论中出现。非交换的概念在此出现非常自然，因为弦场的乘积是用两个弦连接而成一个弦来定义的，本身是不可交换的。这个理论在1986年被提出后，很快被证明是正确的，即可以用来导出开弦的微扰论。对它的非微扰研究也是最近才开始的。

　　在整个80年代，唯一与弦论的非微扰性质有关的研究是格罗斯和他的印度学生佩里维尔 (V. Periwal) 关于弦微扰的高阶数渐进行为的研究。在场论中，有一个很重要的结果，就是当圈数增加时，高圈效应以圈数的阶乘而增大，所以微扰级数是一个发散级数，也是一个渐进展开。只有当耦合常数很小时，前几项才是重要的。一个渐进展开对应的严格函数通常在原点处有奇点，而且是本性奇点。这个原点，在场论中就是耦合常数等于零的地方。虽然这个结果看起来比较深奥，其实一点也不，在寻常的量子力学中我们已经遇到这种行为。例如在势垒穿透问题中，穿透的几率随着一个量成指数衰减，这个量和势垒的高度和宽度有关。而高度和宽度又和“耦合常数”有关，后者越小，则穿透的几率越小，所以耦合常数为零的地方是穿透几率的一个本性奇点。这个量子力学问题的微扰展开就是我们熟悉的半经典展开，很早以前，人们就知道半经典展开其实是一个渐进展开。随着阶数的增大，每一项贡献以阶乘的方式增大。回到格罗斯和佩里维尔的工作，他们通过对弦的世界面的模空间的研究发现，弦的微扰展开也是一个渐进展开，不但如此，这个级数的发散程度比量子力学和量子场论中的发散还要严重，因为阶乘的阶数被加倍了。这就说明，弦的耦合常数为零的一点也是本性奇点，并且，弦的非微扰效应应当比场论中的非微扰效应还要大。

　　在量子力学中，这样的非微扰效应往往与隧道穿透一类的过程有关，这些过程不是实过程，因为只有在量子论中才有，其完成的时间是瞬时的。在场论中，这种过程和四维的欧氏时空中的经典解有关，代表的过程与隧道穿透一样，最有名的是非阿贝尔规范理论中的瞬子解。所以瞬子所代表的穿透过程是一种非微扰效应，这个本性奇点会在微扰论的高阶行为中体现出来。当然，高阶发散行为的体现不仅仅是瞬子和隧穿，在场论中，还有和场论的紫外发散有关的贡献，如所谓的“重正子”贡献 (renormalon)。这些效应太技术化，这里就不谈了。

　　特霍夫特为了研究场论的非微扰行为，引进了所谓的大N展开。这中展开只有在非阿贝尔规范理论一类的矩阵理论中才能做，原因是这里展开的参数不再是通常的耦合常数，而是矩阵阶数的倒数。因为矩阵的阶通常用N来代表，所以这个展开叫大N展开，实际上是1/N展开。这个新的参数很像我们熟悉的耦合常数，只不过，这个耦合常数不是以明显的方式在作用量中或者微扰计算出现。

　　在特霍夫特那里，大N展开有一个非常有意思的几何解释。我们通常将费曼图画在一张纸上，看起来是一个平面图。常常，我们不得不将线段交叉地画，如果这种情况不可避免，我们就说这个费曼图不是平面图。可以画在平面上的又不出现交叉的图又可以画在球面上，而不可以画在平面上的图总可以画在一个更复杂的面上。比球面稍复杂的是一个环面，只能画在环面上的图我们叫作亏格为一的图。现在，特霍夫特证明，所有在大N展开中贡献最大的费曼图都可以画在平面上，或者球面上。仅次于这些图的贡献来源于能画在环面上的图，同样，更小的贡献来自于那些只能画在高亏格面上的图。这样，大N展开的阶数就成了图的亏格数。

　　我们不能看出，大N展开很像弦论的微扰展开，是一种拓扑展开。虽然费曼图本身是一维的，但用来分类图的方式是两维的面，如同弦的世界面。这种联系，使得人们猜测一些场论如规范理论是一种弦论，特别是，量子色动力学中的夸克禁闭可以和弦联系起来：连接两个颜色相反的夸克是一根由胶子形成的弦。到目前为止，夸克禁闭的弦理论还没有建立起来，但人们在近年来发现，一类规范理论的确可以看成是弦论。

　　与通常以阶乘方式发散的微扰论不同，当亏格数固定时，费曼图的个数只是以圈数的幂次增加，这就大大控制了渐进展开的发散行为。当然，如果我们提高亏格数，每个亏格的贡献也随着亏格数增加，并且是以类似弦论中的阶乘数增加的！这是矩阵理论可能是弦论的另一个证据。当然，为了研究场论本身的非微扰性质，也许我们能计算所有的平面图就可以了。在早期，人们为了仅仅数平面图的个数，发明了简单的矩阵理论。这个矩阵理论既不是场论，也不是量子力学，而仅仅是一个矩阵积分。积分的被积函数是一个指数函数，指数类似场论中的作用量，可以证明，这样简单的矩阵积分可以用来准确地计算与之相关的场论中的费曼图个数。

　　作为耦合常数的函数，矩阵积分有一些漂亮的解法，尤其是平面图的贡献。人们在大N极限下发现了一些和场论有关的效应，例如相变。那时，大家甚至期望一个简单的矩阵模型可以告诉我们量子色动力学中的禁闭信息，当然这是奢望。不奇怪的是，在研究矩阵模型的十年后，老结果经过发展真的和弦论联系起来，这就是我们下一节中要谈的老矩阵模型，或者，根据威顿前天的说法，是中世纪矩阵模型。

　　最后，我们提一下，场论中研究的矩阵模型很早就在核理论中被威格纳和戴森研究过了。在那里，矩阵的本征值是用来模仿一个大原子核的能量的本征值的，而矩阵积分与能量本征值的分布有关。

　　我们前面说过，一个规范理论，或更一般地，一个矩阵模型，可能是一个弦理论，其主要根据是大N 展开的行为与弦的微扰展开极为类似。但要真正将一个矩阵模型等同于一个弦理论，却非常困难，原因是弦论往往是出人意料的方式出现。根据已知的可以等同于弦论的矩阵模型，弦论出现的方式至少有三种。我们这一节介绍第一种，即老矩阵模型，这个模型是在1989年为三个不同的小组发现的，一组人是前苏联人卡扎科夫(V. Kazakov)和法国人巴热壬(E. Brezin)，一组是当时都在芝加哥的道格拉斯 (M. Douglas) 和闲克，第三组是格罗斯和米格德尔 (A. Migdal)。米格德尔也是前苏联人，其时已和玻利雅可夫 一道到普林斯顿任教去了，最近则似乎完全脱离物理，开公司了。据说，他的公司也和他做的矩阵模型有关，是搞计算技术的。

　　这三组人的成功建立在过去的一系列工作之上，现在我们择要说明。首先，前面已经提过，在粒子物理这个系统中，大N展开的鼻祖是特霍夫特，概念起源于他若干个尝试解决夸克禁闭的工作之一。其后，很多人，特别是巴热壬、伊日克逊 (C. Itzykson)、巴里舍 (G. Parisi)和朱拜 (J-B. Zuber) 等四人的重要工作系统地研究了一类简单矩阵模型的平面解。不久，伊日克逊、朱拜和白西斯 (D. Bessis) 又发展了解简单模型中的高亏格贡献的方法。这些方法的发明，完全是为了研究量子色动力学，在当时并没有引起太多的注意。有意思的是，在超弦第一次革命期间，前苏联和几个欧洲人独立地将矩阵模型和随机面 (random surfaces) 理论联系起来，他们的出发点还不是弦论。

　　要理解弦论如何从矩阵模型导出，我们首先要了解随机面和矩阵模型的关系。

　　既然已经知道一个矩阵模型的大N展开是两维面的拓扑展开，矩阵模型和随机面有关就是自然的了。在随机面理论中，我们计算一个“过程”是将所有可能的面以不同的权重加起来，这里包括所有不同亏格的面，以及每个亏格中有着所有不同几何的面。权重和面积以及亏格有关，例如，我们可以要求面积越大，权重越小。那么，怎么才能从矩阵模型中产生这样的权重呢？首先，我们要想办法将矩阵模型中的某个量与面上的面积等同起来。在大N展开中，给定一个费曼图，我们将这个图与随机面理论中的一个面联系起来，具体办法是这样的：在费曼图中，给定一个顶点，我们围绕这个顶点画一个多边形，这个多边形的一个边与从这个顶点出去的一根线段正交。这样，我们得到一个对偶于费曼图的面，其中每一个线段与费曼图的一个线段正交，每一个面对应费曼图中的一个顶点，而每一个新的顶点对应原来的一个圈。为什么费劲做这个对偶呢？如果矩阵模型的作用量除了正常的二次项外，只有三次“相互作用项”，这样任一个费曼图只有三顶点，就是每个顶点只有三条线段伸出。这样，每个顶点对偶于一个三角形，用我们上面描述的方法我们只能得到一个只含三角形的面。在数学中，这是一个面的三角剖分。如果我们给与这样剖分中的每一个三角形一个基本面积，这个基本面积对应的权重就是原来矩阵模型中的耦合常数。进一步，与亏格相关的权重在矩阵模型中就是参数1/N，亏格越大，这个参数出现的次数也就越多。

　　不难看出，上面把矩阵模型与随机面对应起来的方法只能产生被离散化的随机面，因为三角剖分只能是对一个光滑的面的近似。如果矩阵模型的作用量还含有更多高阶相互作用项，那么得到的随机面理论也就不是纯“引力”理论，这里的引力是两维引力，原则上是平庸的，只有面积项起作用。比纯引力复杂一点的，是在面上引入一些“物质场”，这些物质场，如果是标量的话，我们就得到弦的世界面嵌入一个空间中的情形，这是为什么矩阵模型和弦论有关。

　　1989年，三个不同的小组令人惊讶地发现了同一个事实，就是，如果将矩阵的阶数推向无限大，同微调作用量中的耦合常数，就会获得一个完全连续的随机面理论。从我们前面的讨论，我们知道微调耦合常数是必要的，否则三角剖分永远是离散的。但当维调获得连续面的时候，每一个亏格的贡献会发散，这时我们就必须取无限大N 极限以获得有限的结果。

　　这三组人得到同样的结果也并不象表面看起来那样令人惊奇，首先，米格德尔和卡扎科夫一直在一起研究随机面理论，其次，闲克也去过法国，这是根据道格拉斯的说法。闲克很早前也研究过大N 矩阵模型。道格拉斯前两天在饭桌上说，格罗斯和米格德尔的第一篇文章含有一个错误，把非纯引力的部份算错了。当然，这两位是很聪明的人，不久在一篇长文中纠正了错误，并且给出一个很好的容易理解的表述。在老矩阵模型时髦的时候，人们常常同时引用这三篇文章，而把格罗斯和米格德尔的文章放在最后，一个可能的原因是，这两位的确是受了其他几个人的启发。

　　矩阵模型与随机面的相关在三篇重要文章出现之前已经在卡扎科夫的一篇文章中出现了，他利用矩阵得到与用其它方法一样的结果。这些其它方法，就是传统的世界面上的路径积分方法，有两个不同的处理办法。一种是以玻利雅可夫为首的苏联人的办法，在两维的度规中取光锥规范。另一种是更协变的共形规范，由法国的大卫(F. David)和河合 (H. Kawai) 及狄斯特勒 (J. Distler) 作出。最早的连续方法也只能算出一些临界参数，而矩阵模型则更有用，可以相对容易地算出关联函数和高亏格的贡献，这是人们当时为何激动的原因。在亏格为零时，用连续的方法第一次算出关联函数的是我和马克-古里安 (M. Goulian)。我当然一直在研究弦论，古里安则很早转到凝聚态里去了。现在想想，马克的转行也很自然，因为那时弦论的确处于一个低潮期，年轻人很容易动摇。记得一次在吃午饭的时候，马克谈他刚刚感兴趣的高分子，施特劳明格问他，这门学问是什么时候开始的。那年研究这个的德-建 (de Gennes) 正好得诺贝尔奖，施特劳明格说，既然已经得奖了，现在做这个有点晚了吧。说起来漫不经心，实际是一句至理名言。现在有一些学生问我，弦论正处于低潮，值得进来研究吗？问这样问题的人，往往对研究的过程不大了解。一个比较成熟的问法是，某莫学科正处于高潮，现在值得进来吗？因为高潮的原因往往是重要的问题已经被解决。

　　矩阵模型虽然比连续的方法更有效，却存在两大缺点。一个缺点是，由此得到的两维面上的“物质”不够多，甚至其自由度比一个自由标量场还小。最大也就是一个标量场，加上由两维度规中出现的一个场，只有两个标量场，所以弦论最多只是一个两维弦理论。由于在通常的弦论中，度规中的标量场是脱耦的，所以低于两维的弦论行为很不同，有一个随着空间变的弦耦合常数，也就是伸缩子不是一个常数，这样的弦论叫非临界弦论。另一个困难是，虽然一些量如配分函数 (相当于场论中的真空图贡献) 可以计算出来，其所满足的微分方程可以逐级地解出，但要得到严格解，从而是包含非微扰效应的解，并不容易，解也不唯一。

　　人们尝试了从矩阵模型获得非微扰弦论的信息，结果是有限的。九一年，威顿等人发现两维的黑洞，这个黑洞的背景从弦的世界面的角度来看是一个可解的共形场论，这引起很多人的兴趣，可能弦论界很多人对黑洞的兴趣是从这里开始的。遗憾的是，虽然人们花了不少精力研究这个两维的黑洞，所取得的物理进展很少，也没有人能够成功地找到一个类似矩阵模型的理论。一批人的兴趣因此转移到研究两维的伸缩子引力及黑洞上面去，文章写了不少，进展甚微。这样的兴趣，一直持续到第二次弦论革命的开始。

　　除了一些有限而且很专业的进展，如卡-丘流形上的镜对称 (mirrorsymmetry) 的物理上的发现，弦论在矩阵模型和两维黑洞后进入了真正的黑暗期，很多人就在此时与弦论说再见，而另一部份人则脱离了与弦论的经常性接触，虽然并没有完全离开弦论。

　　但是第一缕曙光往往是在最黑暗的时候出现的，看到这个曙光的人也是那些没有失掉信心和兴趣的人。我们下一章开始讲与弦论第二次革命有关的，却是完成于第二次革命之前的工作。

　　本想用“二次革命的先声”作为本章标题，但这样一来太象过去写国民革命的早期的文章了，故简单地用先声，以期不落俗套。

　　超弦第二次革命其来也突然，使得很多人一时摸不著头脑，比如像我这样一直没有离开弦论的人，也花了近半年时间来吸收。当时在国内的人，似乎还没有人意识到在美国、欧洲和印度发生了什么。我在97年回国访问，很多人还对所谓超弦革命持怀疑态度。感谢当时理论所的所长苏肇冰先生，是他的诚意使得我的那次回国成为可能。其实早在96年夏，苏先生就托他过去的学生让我写一个短文介绍对偶的发展，目的是用在他当时向上面要钱的文章里。作为一直关心场论发展的一个凝聚态物理专家，这样的态度与国内的一些场论专家形成明显的对照。我写这一段，用意有二，一是不能忘记苏先生的作用，二是提醒大家前事不忘，后事之师：虽然弦论在中国已有一定的影响，可是我们过去是怎样对待它的。

　　超弦的第二次革命之所以让许多人不知所措，主要原因是它的背景深藏于过去之中，要完全接纳需要一定的时间。这些背景包括我们前面已经介绍了的超对称、超引力、K-K理论，还有没有介绍的孤立子理论，以及相当多的有效量子场论。再有就是革命发生前的一些重要却没有引起足够注意的发展，如所谓的T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性，当然最后不能忘记更早的关于S-对偶的猜测，以及森等人的较为近来的工作。所以在进入二次革命的正题前，应先介绍一下这些背景。

　　但在介绍这些背景之前，觉得想说点关于中国研究超弦的话，说到哪儿是哪儿。为什么到现在才提这个话题？或者有人问，为什么要讲这个？主要原因是，最近一些搞物理和数学的以丘成桐先生为首，在杭州和北京搞了两个超弦的短会，请来了一些弦论界的重要人物，如威顿、格罗斯、施特劳明格等人，再加上历来的理论物理的“形像大使”霍金，对学生和新闻界影响不小，使得弦论从几乎无人注意 (当然除了本坛上一些活跃的人和读者以及历年参加国内弦论会议的人) 一下子变成公众议论的话题。我记得有一次打的，司机在得知我是搞理论物理的时候问我，模世界和我们的宇宙有没有关系？既然弦论在中国已成为公众的话题，谈一下弦论在中国的历史应当是一个对大家有益的事。尤其对一些已经选弦论作为研究方向，以及希望进入弦论的学生来说，这个话题是有用的。我已写了二十一节，贡献一节给中国，当然中国对弦论的贡献远远不到二十分之一。

　　弦论的祖先之一，散射矩阵理论，在中国的历史和在世界的历史是一样长的。张宗燧先生的两卷本著作含有比较详细的中国人对散射矩阵理论的贡献的文献，其中值得一提的是戴元本先生的工作。可惜的是，虽然弦论起源于散射矩阵理论，由於当时中国正处於文革，中国人在早期对弦论并无贡献。中国人开始注意弦论，是在弦论的第一次革命中。记得我第一次听说弦论，是因为看到了威顿等人关于卡-丘紧化的文章。

　　我个人比较幸运，在弦论的第一次革命后，有机会去意大利的国际理论物理中心，接触到当时的预印本，见到很多当时活跃的人包括威顿。从而早在85年就开始写关于弦论的不重要的文章了。在国内，除了理论所外，还有科学院研究生院、浙江大学、复旦大学的一些人开始注意弦论，当然西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。

　　作为作者，总是喜欢先谈自己以及与自己有关的人，这里也不例外。当时的情况是，科大的一些人，如方先生和他的学生，开始重视弦论。方集中精力研究他的天体物理，所以将研究弦论的事情交给他的学生，我是他的学生，高洪波也是他的学生，比我晚些。高怡泓是方的半个学生，所以如果这几个人还算对中国的弦论做了一点事情的话，方先生是间接地做了贡献。方指导学生做学问的办法是放羊，有草吃没草吃全看学生自己的能力，我是很喜欢这种方法的。当然，由於方本人不是弦论专家，不能直接告诉我们弦论中哪些是重要问题，这可能会延缓学生的成长，但却是培养了学生的独立能力。对於他能直接指导的学生来说，成效就完全不同了。尽管如此，我和高怡泓还是坚持了下来。相反，有一些专门研究场论和弦论老师的学生，却大部分离开弦论甚至理论物理了。

　　听说有人有科大“三剑客”的说法，感谢这些人对我们的谬奖。这“三剑客”，当年在科大的确是很“哥们”的，有酒一起喝，有文一同看。高洪波兄由於个人的事情在数年前离开弦论。但他还一直注意弦论的发展，也是我们这个坛子的常客。他的物理背景在他现在的工作中起了很大作用，他现在在加拿大已经是一个很成功的金融界人士了。只剩下我和高怡泓这两柄秃剑还在慢慢地挥舞。其实科大当时还有一个非常独立的人，不但独立於老师，也独立於“三剑客”，这人就是后来很有成就的卢建新。所以说，论对中国弦论界的贡献，科大为第一 (仅卢一人就可以了)。

　　再谈理论物理所，前面我提到苏先生，他不研究弦论，但对场论和弦论的重视超过很多场论专家。理论所在一次革命后研究弦论的主要是老师，值得一提的是朱重远老师，他是一直支持研究弦论的。有意思的是，理论所出来的唯一长期研究弦论的学生，也是他的学生，就是熊传胜。熊有重要的工作，他和江口 (Eguchi)的关于拓扑弦的工作在数学界有很大影响。可惜由於我们还不知道的原因，他也离开了物理。

　　浙江大学的汪容老师带了很多研究弦论的学生，包括虞跃先生。虞跃虽然后来离开弦论，他的研究弦论的经历相信对他在凝聚态物理中的研究是有很大帮助的。

　　复旦大学倪光炯的学生陈伟，也是早期研究弦论的有数的人之一。他也离开弦论了，但在干也许比研究弦论更有用的事：和朋友一同主持在新泽西州的一家英文科学出版社。蒙他的鼎力相助，我和吴咏时先生合作编缉的一本物理中的非交换几何已经出版(大家快掏银子买书，支持他的出版事业--银子不会到我这里)。

　　西北大学带出了许多学生，如陈一新等人。西北大学至今还是国内研究超弦的基地之一。

　　北京的研究生院出了朱传界一人，也是异数。

　　再往后，弦论在中国越来越不受重视，就很少出人了。我知道的，也就是理论所吴可老师的学生陈斌。而现在理论所的研究员喻明也是从国外回来的。从上面的超弦在中国的简史可以看出，弦论在中国是亟需加强的。不但要寄希望于国家的更多投入，更寄希望于后来的学生。

　　上一节谈弦论在中国，其实有点离题。没有想到，离题的话居然更有市场，那一节看的人大概是最多的了。这一节把话题收回来，谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。

　　最重要的，莫过於孤立子这个概念。在很大程度上，弦论实现了爱因斯坦在研究统一场论时的一个设想：在他的一个理想中，存在一个完美的引力理论，所有物质粒子在这个理论中都是场方程的解。自1994年以来，孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体，包括弦本身，都可以看作是孤立子。

　　孤立子的经验发现虽然很早，可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤立波，但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔 (Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个独立学科。在很多情况下，孤立子的解看起来很难找到，但在一些简单的模型里可以用简单的办法找到。

　　一个线性波动方程的解总是有能量弥散，开始时准备的一个能量很集中的波包经过一段时间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解，波动方程就必须是非线性的。最简单的是两维时空中的一个标量场论，其中相互作用的势能是场的四次多项式，有两个极小点。每个极小点代表一种真空，能找到一个静态解，其在两个无限远处的取值是这两个极小点。因为是连接两个真空点的解，这样的解叫纽结解 (kink)。这个最简单的孤子是稳定的，因为它要是能衰变的话，两个无限远点的真空必须变成同一个真空，这是做不到的。还存在反纽结解，它的两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个反纽结解可以放在一起，因为纽结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个系统是不稳定的，因为两边的真空是一样的了，这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。

　　当时空的维数超过3时，有一个定理说，如果只存在标量场，就没有孤子解。通常，经典场的能量可以分为两部分，一部分与场在空间上的变化率有关，另一部分与场的势能有关。空间变化率越大，场的能量就越大，所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀，从而能量比较分散。而势能项使得场变得很集中，在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势，可以平衡时，就可能存在孤子解。在高维的时空中，势能项取得优势，从而不存在孤子解。

　　在三维时空中，解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可以减小标量场空间变化对能量的贡献，从而这一项与势能项可能取得平衡，规范场本身对能量的贡献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解 (vortex)，这个解的特点是一个复标量场的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是一个弦状的解，因为这个解不依赖于第三维，从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。这就是有名的尼尔逊-奥尔逊涡旋解 (Nielsen-Olesen)。

　　两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类，叫拓扑孤子解，因为这两种解中有一个守恒荷，与拓扑有关。在前者，拓扑荷就是两个孤立的真空之差，是一个固定的数。在后者，荷与所谓的绕数有关，也就是，绕原点一周，复标量场也在场空间上绕原点一周。如果表量场绕原点不止一周，拓扑荷就更大。

　　在涡旋解的情况下，我们又说该解饱和波戈茅力 (Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的电磁理论中，人们可以推出一个能量的下限，当所有的场都满足一些一阶微分方程时，这个下限被饱和。所以从经典的观点来说，这个解是绝对稳定的。

　　当时空的维数高于三维时，我们就得引进非阿贝尔规范理论，去得到孤子解。最简单的例子是一个四维时空中的SU(2)规范理论，加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。这个标量场有三个份量，数目正好与空间维数相同 (与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时，我们也引进一个势能项，使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解，其中标量场在场空间中的取向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值，所以标量场把无限远的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解，所以也是一个拓扑解。由於关于纯标量场的定理，我们需要一个不为零的规范场。由於在无限远处非阿贝尔对称破缺成普通的阿贝尔对称，这个一个磁单极解，带一个没有破缺的规范场的磁荷。这个解为玻利雅可夫与特霍夫特同时在1975年发现。由於标量场的方向与空间方向一致，长得象一个刺猥，所以那时又叫刺猥解 (hedgehog)。请注意，纽结解、涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状有关。我建议大家记住这些名称，因为这些名称包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的极限，所以这些解统称为BPS 解，BPS 来自于三个人的名字 ( Bogomol'nyi, Parasad, Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程，这些方程又叫BPS方程。

　　假定时空的维数更高，能不能找到新的孤子解？答案是肯定的。在场论中，下一个例子是五维时空。这里，我们仅仅应用一下四维时空中得到的解，这个解是玻利雅可夫于1975年发现的瞬子解 (instanton)。为何叫瞬子解？因为这个解是四维欧氏空间中的解，在场论中类似于量子力学中的隧道穿透解，不是一个实际发生的过程，而是一个量子效应。这个解仅仅需要非阿贝尔规范场，并不需要标量场了。在五维时空中，一个静态解不依赖于时间，实际上是一个四维欧氏空间中的解，所以瞬子解正好应用到这里，变成一个孤子解了。瞬子解也是一个BPS解。

　　我们提到的孤子解都有一个重要的特点，就是所有不为零的场在空间所有的点上都是光滑的，没有奇异性。如果放弃这个要求，那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量集中在一个小区域的解，例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能叫做孤子解，因为如果象量子电动力学中本来就有电子，这个解不能代表一个独立的自由度。如果没有电子，这个解就毫无意义了。

　　我不知道在纯粹的场论中，高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。

　　如果有引力介入，情况就完全不同了。我们可以说，黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽然有一个奇点，这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处：第一，黑洞的奇点不是存在於空间中的某个点，不是在所有时间上都存在的，用行话说，不是一个类时点，而是一个类空点，突然出现在某个时间上，有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点；第二，黑洞的奇点被一个视界面藏起来了，站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非线性的，所以这个类似孤子解的黑洞的存在很容易理解。 所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解，所以我们可以说，与通常的场论不同，引力理论中总存在孤子解，无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维时空中，度规本身没有任何自由度，从某种角度来说，自由度甚至是负的。为了引入黑洞，就必须引入一个标量场，如伸缩场。引进这个标量场后，自由度的个数为零，即便如此，黑洞解就存在了。在三维时空中，纯引力理论的自由度也为零，如果有一个负的宇宙学常数，黑洞解也存在。

　　当在一个理论中找到孤子后，接下来有一个量子化的问题，必须考虑所有场的量子涨落对孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色场来说，可能存在零模，也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的模，这些模又叫模参数 (modui parameters)，因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存在费米场，费米场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的，在空间上的积分是有限的。费米场的零模，作为一个算子，作用在原来的孤子解上的时候，产生一个新的能量与原来一样的态，这个态是费米子。在特殊情况下，如在纽结解 情形，费米数甚至是1/2。当存在超对称时，一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对称，能量可能没有量子修正，特别是在这个孤子是一个BPS解的情况下。BPS解的能量满足下限，而这个下限恰恰与一个拓扑荷有关，明显没有量子修正。当BPS解同时又不破坏一些超对称的时候，这个下限是超对称代数的一个结论。超对称代数没有量子修正，拓扑荷也没有量子修正，所以孤子解的能量没有量子修正。 可能N等於4的四维超对称规范理论最为有名，因为这里的孤子解是一个磁单极，有一半的超对称没有破缺，所以其质量没有量子修正。同时，考虑到费米场的零模后，所有的解形成一个超对称多重态，而且与原来的规范场超对称多重态的表示完全一样。这个特点，是该理论可能存在强弱对偶的一个重要暗示，因为如果用磁单极作为基本变量，我们还是得到一个超对称规范场论，且耦合常数是原来耦合常数的倒数。

　　以上谈到的所有孤子解在弦论中都有重要应用。弦论由於含有引力，所以也有不同于以上孤子解的新解。这些解在超弦第二次革命中起到关键的作用。